车一直向前开，速度却一直变。怎样算出这段时间走了多远？
可以先把时间切成很多小段。在每一小段里，用一个速度值近似这一段的速度，再乘以这段时间，算出一小段位移。把这些位移相加，就得到了全程位移的近似值。车始终向前时，它也就是走过的路程。
这就是理解积分的一个入口。它先回答“怎样把不断变化的量累积起来”，然后才进入公式。
之前的导数文章讲过：两个点之间的平均变化率，怎样逼近一个点的瞬时变化率。这一篇沿着反方向走：已经知道每一刻怎样变化，能不能找回一整段的累积？问题就在这里——积分得到的那个数，究竟代表什么？
先用四个矩形，接受一个不够准的答案
先把速度的例子放一放，单独看函数 y=x² 在 0 到 1 之间的图像。我们想求曲线与横轴之间的面积。它在横轴上方，而且越往右越高。
把区间等分为四段，每段宽度都是 0.25。问题随即出现：一个矩形只有一个高度，曲线在这一段却一直变化。该用哪一点的高度？
如果取每段的左端点，四个高度是 0、0.0625、0.25、0.5625。分别乘上宽度，再相加，得到 0.21875。
如果取右端点，结果变成 0.46875。同一条曲线、同一个区间、同样四个矩形，答案差了不少。
差别并不神秘。在这个递增区间里，左端点矩形低于曲线，漏掉了一部分；右端点矩形高于曲线，多算了一部分。准确值 1/3 被夹在中间。
先看懂误差从哪里来，比马上记住积分符号更有用。下一次遇到近似计算，你就会多问一句：它取了什么样本，偏差朝哪个方向？
矩形变多，究竟什么在改变
在 ArchSight 科学实验室的 M0903「定积分与累积」中，可以保持函数和区间不变，只切换取样方法与分割数量。
先选中点法：每段用中间位置的函数值作为矩形高度。四段时，近似值是 0.328125；八段时约为 0.332031；十六段时约为 0.333008。它们逐渐靠近 1/3。
这组数字值得多停一下。四段时的误差约为 0.005208，八段时约为 0.001302。分割数量翻倍，误差并没有只减半，而是变成了原来的四分之一。
这是这个函数、这个区间和中点法共同产生的结果，不能推广成“所有积分近似都这样”。换成左端点法，再重复一次，误差变化就不一样。
实验中还可以逐步推进分区累积账本。看着一个矩形的贡献进入总数，能把“求和”从一个符号变成可以逐项核对的过程。这里的推进表示加入下一个分区，不是在模拟一段真实物理时间。
有限次操作让我们看见趋势。数学上的定积分还要再往前一步：对于这里这样的连续函数，当分割足够细，不同取样方式会趋向同一个值。这个极限才是定积分，屏幕上某一次有限矩形的结果只是它的近似。
积分等于零，也可能发生了很多事
现在换成 y=x，区间改为 −1 到 1。
左半边在横轴下方，贡献为负；右半边在横轴上方，贡献为正。两边大小相等，累积起来刚好抵消，所以定积分是 0。
但两块三角形的几何面积并不为零。每块都是 0.5，加起来是 1。
如果把横坐标理解为相对时间，纵坐标理解为带方向的速度，就更容易看出区别：先往一个方向走，再往反方向走回出发点，净位移是零，走过的路程却不为零。
因此，“曲线下面积”只是一个方便的入门说法。对横轴上方的函数，它没有问题；遇到正负变化，就必须说明算的是带符号累积，还是把每一块都按正数相加的面积。
你可以在同一个实验里切到 y=x，设置这个对称区间，观察累积曲线先下降、再回到原来的高度。曲线回到起点，并不抹去中间发生过的变化。
带着一个猜想，再打开讲义
如果第一次进入实验台，不必同时看懂所有读数。先做完一个小问题：固定 y=x² 和 0 到 1，只把分割数量从四改成八，解释结果为什么变近。
做完后，先别急着换实验。保持四个矩形不变，切换左端点和右端点，看看能不能复现图 1 的两个数。再换成 y=x、区间 −1 到 1，解释为什么积分为零，面积却不为零。
如果这两步都能解释，再试着问：“中点法是不是总比另外两种准？”换个函数、换个区间，寻找支持或反驳猜想的例子，再回到讲义中的条件和推导。
M0903 的专业讲义从分割和取样说明定积分的定义，也把累积函数与导数接起来。实验负责让问题变得可见，讲义负责把“看起来如此”推进到“为什么成立”。读到暂时不熟悉的符号，可以先返回刚才的图，不必一次读完。
ArchSight 科学实验室 v1.7.0 已正式发布。本篇使用其中的 M0903「定积分与累积」。在实验室按编号找到它，先选函数、再定区间，就可以从上面的四个矩形开始。
我们希望 Science 能帮助需要重建数学直觉的学习者，也能给教师提供一组可讨论的观察。它不替你把所有结论推送过来；愿意多改一个条件、多核对一个数，才会逐渐形成自己的理解。
如果你已经学过积分，当年最难跨过去的是求和、极限，还是正负抵消？欢迎在本文评论区聊聊。后续专题也会沿着这些具体卡点继续写。
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